İkinci derece denklem çözücü (ax² + bx + c = 0)
ax² + bx + c = 0 denkleminin köklerini, diskriminantını, kök toplam-çarpımını ve parabolün tepe noktasını bulur.
Girdiler
Değerleri girince sonuç burada görünür.
Nasıl hesaplanır
İkinci derece bir denklemin karakterini diskriminant belirler. Δ = b² − 4ac değeri pozitifse parabol x eksenini iki ayrı noktada keser ve denklemin iki farklı reel kökü olur. Δ sıfırsa parabol eksene teğettir; iki kök çakışır ve tek bir çözüm kalır. Δ negatifse parabol ekseni hiç kesmez, kökler karmaşık eşlenik çift hâline gelir.
Kökleri tek tek bulmadan da denklem hakkında çok şey söylenebilir. Vieta bağıntılarına göre köklerin toplamı her zaman −b/a, çarpımı ise c/a'dır. Bu iki değer karmaşık köklerde bile reel çıkar, çünkü eşlenik çiftin sanal kısımları toplamda birbirini götürür, çarpımda ise kare alınarak reelleşir. Sonucu hızlıca kontrol etmek için bu bağıntılar pratik bir yol sunar.
Parabolün tepe noktası x = −b/2a simetri ekseni üzerindedir ve buradaki y değeri −Δ/4a'dır. a pozitifse kollar yukarı bakar, tepe noktası fonksiyonun en küçük değeridir; a negatifse tersi geçerlidir. a sıfır girildiğinde x² terimi kaybolur ve elde kalan bx + c = 0 denklemi doğrusal olur — bu hesaplayıcı o durumu da çözer, ancak diskriminant ve tepe noktası artık tanımsızdır.
Formül
- Δ = b² − 4ac
- x₁,₂ = (−b ± √Δ) / (2a)
- x₁ + x₂ = −b/a · x₁ · x₂ = c/a
- Tepe noktası: T(−b/2a , −Δ/4a)
- Δ < 0 → x = −b/2a ± ( √(−Δ) / 2|a| )·i
- a = 0 → bx + c = 0 → x = −c/b
Sık sorulanlar
Diskriminant negatifken kökler nasıl yazılır?
Gerçek kısım −b/2a, sanal kısım √(−Δ)/2|a| olacak biçimde bir eşlenik çift oluşur ve kökler 2,5 + 0,866i ile 2,5 − 0,866i gibi yazılır. İki kökün gerçek kısmı aynıdır, yalnızca sanal kısmın işareti değişir.
a katsayısı sıfır olursa ne olur?
Denklem ikinci dereceden çıkar ve bx + c = 0 doğrusal denklemine iner; tek kök x = −c/b olur. Bu durumda diskriminant, ikinci kök ve tepe noktası tanımsızdır çünkü ortada bir parabol kalmaz. b de sıfırken c sıfırdan farklıysa denklemin çözümü yoktur; a, b ve c'nin üçü birden sıfırsa her x çözümdür.
Bulduğum kökleri nasıl doğrularım?
En hızlı yol Vieta kontrolüdür: köklerin toplamı −b/a, çarpımı c/a çıkmalıdır. Örneğin x² − 5x + 6 = 0 için kökler 2 ve 3'tür; toplamları 5 = −(−5)/1, çarpımları 6 = 6/1 olduğundan çözüm doğrudur.
Bunu da dene
Üslü köklü sayılar
—Üs alma, n. dereceden kök, logaritma ve üstel işlemleri tek ekranda hesaplar; sonucu bilimsel gösterimle ve ters işlem doğrulamasıyla birlikte verir.
EBOB - EKOK
—Girdiğiniz sayıların en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını Öklit algoritmasıyla bulur, asal çarpanlarını gösterir.
Alan ve hacim
m²Kare, üçgen, daire, silindir, küre gibi 12 geometrik şeklin alanını, çevresini, hacmini ve yüzey alanını hesaplar.
Yüzde hesaplama
%Bir sayının yüzdesini, iki sayı arasındaki yüzde oranını ve yüzde değişimi bulur; zam ve indirim sonrası değeri tek adımda hesaplar.